【高輪中学高等学校】2025年度 入試問題 算数
―高く・大きく・豊かに・深く―
高輪中学高等学校
問題 A日程 5
下の図は，体積が24cm3の立方体で，4点P，Q，R，Sはそれぞれ辺CD，BC，EF，CGの真ん中の点です。
次の各問いに答えなさい。
ただし，角すいの体積は(底面積)×(高さ)× 13 で求めることができます。
(1) この立方体を，3点D，B，Eを通る平面で切断したとき，点Aを含む立体Xの体積は何cm3ですか。
(2) (1)の切断後，立体Xを取り除き，点Gを含む立体について考えます。
この立体を，3点P，Q，Rを通る平面で切断したとき，点Bを含む立体Yの体積は何cm3ですか。
(3) (2)の切断後，立体Yを取り除き，点Gを含む立体について考えます。
この立体を「点Sを通り，面EFGHに平行な平面」で切断したとき，点Cを含む立体Zの体積は何cm3ですか。
立体図形の複数回切断は難問も多いジャンルですが，本問はその中では解きやすい方と言えるでしょう。最後まで正解したい1題です。
(1) 断面は下図の正三角形BDEになり，立体Xは三角すいABDEです。
三角形ABDの面積が立方体の1面の面積の半分なので，体積は立方体の 12×13＝16(倍)
答えは 24×16＝4(cm3)
(2) 断面は下図の正六角形PQTRUVになります。
このことは図のように面を延長して作図すれば分かりますが，頻出の形なので覚えておいても良いでしょう。
切断で立方体は合同な2つの立体に分かれます。
断面は(1)の断面と交わらないので，立方体を2等分してから立体Xを除いたと考えて，
立体Yの体積は
24÷2－4＝8(cm3)
(3) 断面はSを通り面EFGHに平行なので，点T, Vを通ります。
立体Zは三角すい台SVT-CPQです（下図）。
三角すい台SVT-CPQは，三角すいABDE（立体X）と合同な三角すいから，
半分の大きさの三角すいを除いた立体です。
体積は三角すいABDEの
1－12
×
12
×
12
＝
78(倍)
よって，答えは
4×78＝3.5(cm3)
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中学への算数 東京出版刊行
●編集方針●
最近の中学入試では、型にこだわらない新傾向問題が増えています。これらは、ためしたり、かぞえたり、整理したり、場合を分けたり、規則性を発見したり、グラフを書いたり、図形を動かしたり、立体をいろいろとりあつかったり、というように、単なる反復練習では解くことのできない、数学的な発想力や思考力を要求される問題です。それに応える力を育てることが本誌の最大の目標です。同時に、受験を離れたところでも、算数のおもしろさ、楽しさを伝えていきます。
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コメント
数学は文系・理系に関係なく、理論的に考える・証明するという、実社会で役立つ能力を育む教科です。算数とは異なり、答えにたどり着く過程の方が重視されます。
高校課程では習熟度別授業やコース分けが導入されていますので、問題を解ける喜びや数学の楽しさを味わえる環境が整っています。授業ではただ板書をノートに写すのではなく、自分で考えて正解を導く努力をして下さい。そうすれば大学生や社会人になったとき、数学を1つの手段として用いることができるようになり、更には数学そのものの魅力に気づくはずです。