【駒場東邦中学校高等学校】2025年度 入試問題 算数
自主独立の気概と科学的精神をもって
世界に大いなる夢を描こう。
駒場東邦
中学校・高等学校
問題 3
a，b，c，dを1以上の整数とします。1つのaに対してa×a×aを ＜a＞ と表すことにします。
例えば，＜1＞=1×1×1=1，＜2＞=2×2×2=8，＜3＞=3×3×3=27となります。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) aが1以上12以下のとき，＜a＞の値と，＜a＞を9で割ったときの余りを求め，解答欄の表（省略）にかきこみなさい。
(2) ＜a＞+＜b＞+＜c＞は1111にはならないことを，(1)の結果を用いて説明しなさい。
(3) ＜a＞+＜b＞+＜c＞+＜d＞=2025となるような（a，b，c，d）の組をすべて求めなさい。
ただし，小さい方から順にa，b，c，dとし，その中に同じ数があってもよいものとします。
余りによる分類，丁寧な書き出しと，中学入試の整数分野における重要な要素がつまった問題です。
(1) 下の表の通り(“余り”は， ＜a＞を9で割った余りを指す）。
(2) ＜a＞，＜b＞，＜c＞を9で割った余りは0，1，8のいずれかであるから，
＜a＞+＜b＞+＜c＞の値を9で割った余りは，0，1，8から重複を許して選んだ3数の和を9で割った余りに等しい。
1111を9で割った余りは4であるが，0，1，8から重複を許して3数を選んでも，
その和が4，13，22になることはないから，＜a＞+＜b＞+＜c＞は1111にならない。
(13×13×13=2197＞2025より，以下，a，b，c，d として，1～12の整数を考えればよい。）
(3) これには悩みました。
（2）までの流れからすれば，やはり9で割った余りに着目して，
(2025を9で割った余りが0であることから）4数＜a＞，＜b＞，＜c＞，＜d＞を9で割った余りの組が，
(0, 0, 0, 0) or(0, 0, 1, 8)or (1, 1, 8, 8)と分かるので，
そこから絞り込もうとも考えたのですが，かなり面倒です。
そこで，4数のうち＜d＞を決めて（512以上です）残り3数を大きい方の数から順にためして絞り込むことにしました。
結果、（1，8，8，10)，(2，7，7，11) の2組が見つかりました。
［1+512+512+1000＝8+343+343+1331=2025です。］
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●編集方針●
最近の中学入試では、型にこだわらない新傾向問題が増えています。これらは、ためしたり、かぞえたり、整理したり、場合を分けたり、規則性を発見したり、グラフを書いたり、図形を動かしたり、立体をいろいろとりあつかったり、というように、単なる反復練習では解くことのできない、数学的な発想力や思考力を要求される問題です。それに応える力を育てることが本誌の最大の目標です。同時に、受験を離れたところでも、算数のおもしろさ、楽しさを伝えていきます。
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コメント
駒場東邦の数学は、「中学高校の内容をすべて学ぶこと」と「数学的思考力・知識とそれを表現する力をバランスよく身に付けること」の二つを目標としています。
論理的思考による問題解決能力が不可欠な現代社会においては希望進路にかかわらず、数学を学ぶ必要があります。そこで、どの生徒も無理なく学習を進められるように、複数学年でクラスを分割する少人数授業を実施し、また、小テストを進度に合わせて適宜（高２の演習授業では毎回）行い各自の理解度を確かめるなどの工夫をしています。